Gauss factorials of polynomials over finite fields

Abstract

In de gehele getallen bestaat er een product genaamd Gauss faculteiten. Er bestaat een analogie tussen de gehele getallen en polynomen en Xiumei Li en Min Sha geven in hun paper een analogie van Gauss faculteiten voor polynomen. In deze scriptie wordt de paper in eigen woorden herschreven en worden bewijzen van stellingen die in het originele paper niet worden gegeven vanuit de bronnen toegevoegd. De scriptie bestaat uit drie delen. In het eerste deel van de scriptie wordt een korte samenvatting gegeven van wat polynomen over een eindig lichaam zijn, wordt een analogie tussen gehele getallen en polynomen gegeven, wordt uitleg gegeven over wat Gauss faculteiten zijn en uiteindelijk wordt uitgelegd wat Gauss faculteiten van polynomen over een eindig lichaam zijn. In het tweede deel worden Gauss faculteiten over een eindig lichaam modulo een polynoom berekend. Hier is de uitkomst afhankelijk van het karakteristiek van het onderliggende lichaam en de maximale graad van de polynomen die worden vermenigvuldigd in de Gauss faculteiten. Er is onderscheid gemaakt van deze gevallen en in drie Theorems. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van vijf hulp lemmas. Als het karakteristiek van het lichaam een oneven priem is, is de Gauss faculteit 1 of -1. Er wordt opgemerkt dat in de faculteit zowel 'positieve' als 'negatieve' polynomen worden vermenigvuldigd. Elk polynoom wordt twee keer vermenigvuldig (één keer positief één keer negatief). In het derde deel wordt daarom de orde berekend als de helft van de polynomen in de Gauss faculteit worden vermenigvuldigd en het karakteristiek van het onderliggende lichaam oneven is. De ordes worden berekend in vier theorems en samen gevat in de vijfde theorem. Hiervoor worden negen hulp lemmas gebruikt. In de scriptie worden alle, behalve twee, lemmas bewezen. De theorems waren in het originele paper al bewezen en zijn in de scriptie alleen uitgebreider uitgewerkt.