Gecondenseerde verzamelingen

Abstract

Topologie vormt de kern van vele vakgebieden binnen de wiskunde. Wel heeft topologie zijn beperkingen. Dit is waarom gecondenseerde verzamelingen zijn ontdekt. Gecondenseerde verzamelingen bieden ons een manier om topologieën te vervangen en helpen ons als we bijvoorbeeld kijken naar abelse groepen met een topologie. In hoofdstuk één zullen wij het begrip van een product van een eindig aantal topologische ruimten gaan uitbreiden naar oneindige producten. We zullen zien dat er meerdere manieren zijn om zo een product de definiëren. Wel zullen we zien dat sommige definities handiger zijn dan anderen, omdat ze aan betere eigenschappen voldoen. Aan het einde van het hoofdstuk zullen we ook de stelling van Tychonoff bewijzen. In hoofdstuk twee zullen wij met behulp van het oneindige product uit hoofdstuk 1 de categorie van pro- eindige verzamelingen introduceren. Ook geven we een karakterisatie van pro-eindige verzamelingen. De eerste twee hoofdstukken fungeren als voorbereiding op het derde hoofdstuk. In het derde hoofdstuk zullen wij gecondenseerde verzamelingen gaan introduceren. We zullen ook laten zien hoe we een gecon- denseerde verzameling vanuit een topologische ruimte kunnen construeren. Omgekeerd zullen we ook zien hoe topologische ruimtes benaderd kunnen worden vanuit gecondenseerde verzamelingen. Aan het einde van het hoofdstuk zullen we gaan kijken wat er gebeurt als we de topologie proberen te benaderen van een gecondenseerde verzameling, die gecreëerd is vanuit een topologie. We zullen zien dat deze benadering alleen goed gaat met sequentiële topologieën. Dit laatste is eigen werk. In de bronnen wordt er namelijk alleen gezegd hoe goed de benadering gaat als we kijken naar sequentiële topologieën. Er wordt niks gezegd over de benadering bij andere topologieën. Voor deze scriptie is het aan te raden om een goed begrip te hebben van topologie. Alle basis-feiten in de topologie zullen aangenomen worden als algemene kennis. Daarnaast is het ook belangrijk om een goed begrip te hebben van categorietheorie. Categorieën, functoren, morfismes tussen categorieën, links- en rechtsgeadjugeerde functoren en equalizers zijn allemaal begrippen die we zullen beschouwen als algemene kennis.