Reciprociteit en het splijten van polynomen en priemidealen

Abstract

We bestuderen reciprociteitswetten, algemene regels die voor polynomen f(x) met gehele coëfficiënten beschrijven voor welke priemgetallen f(x) splijt, dat wil zeggen te schrijven is als product van verschillende lineaire factoren. We zullen deze vraag steeds herformuleren om de zoektocht naar reciprociteitswetten uit te breiden. We zullen bijvoorbeeld zien hoe de priemfactorisatie van f(x) modulo priemgetallen p overeenkomt met de factorisatie van het ideaal (p) in een eindige lichaamsuitbreiding van Q. Daarna zullen we zien hoe we deze theorie kunnen gebruiken om het Artin symbool van p te introduceren, die gelijk is aan de identiteit dan en slechts dan als f(x) splijt modulo p (op een eindig aantal uitzonderingen na). Het doel is hierbij om de relevante theorie te introduceren voor bachelorstudenten met een basis in lichamen- en Galoistheorie. Ten slotte zullen we zien hoe we Artin symbolen kunnen gebruiken om concrete voorbeelden uit te werken, en om een meer algemene reciprociteitswet te vinden voor een grote groep polynomen.